関数型プログラミング Ch9 圏と多相データ型

前章 (第8章)では, 型 (= 集合) の上に演算と法則を載せた 代数構造 と, その受け皿としての型クラスを見ました. 章の後半では 準同型 (構造を保つ写像) が中心になり, 締めくくりで「台が値から関数 (射) へ持ち上がる」と予告しました. 本章はその回収です.

振り返ると, ここまでの 2 章は「台に何を据えるか」の物語として読めます.

• 第7章では, 型を 集合 とみなしました. 台は「値の集まり」で, その上の関係・関数を直積の部分集合として定義しました.
• 第8章では, 集合の上に 演算と法則 を載せて 代数 を作りました. 台は変わらず値の集まりのまま, 載せるものが増え, 最後に 構造を保つ写像 (準同型) を手に入れました.

本章では, 台そのものを取り替えます. これまで「値の集まり」の上に構造を載せてきたのに対し, 今度は 関数 (写像) そのものの集まり を台に据え, その上に 合成 という演算を載せます. こうしてできる構造が 圏 (category) です.

第7章の演算の節で描いた図の系列が, この転換をそのまま表しています. 図0 は集合だけの世界. 第8章までの主役は 図1 の世界 でした. 点 = 台 (集合) はただ 1 つ, 射 = 台の中で閉じた演算で, この世界に法則を課して代数を作ったのでした. 本章の主役は 図2 の世界 です. 点 = 型 (集合) は無数にあり, 射 = 関数が型から型へ渡ります. この図2 の世界を, 点 (型) の側からではなく 射 (関数) の側から 眺め, 射の集まりを台に据えて合成の法則を課したものが圏です. 図1 から図2 へ向かう矢印こそ, 第7章の演算の節で 俯瞰 (台を射の集まりに取り替える見方の転換) と名づけた操作であり, 本章はそれをついに実行するわけです.

そしてこの見方に立つと, 型引数を持つ 多相データ型 は 関手 (functor), 型に依らない一様な多相関数は 自然変換 (natural transformation) という構造に対応します. すなわち, 本章では次の対応を順に確かめていきます.

この対応の裏には, 第8章から続く 1 本の縦糸があります. レシピは同じまま, 台を持ち上げる ことです. モノイドも圏も「組 + 法則 (結合律と単位律)」という同じレシピで定義され, 変わるのは 台に何を据えるか だけです. 台に据えるものを一段ずつ持ち上げると, 次の階段 (本講義で 俯瞰の階段 と呼ぶ地図) になります (「図」の列は, 図0 (集合)・図1 (代数)・図2 (関数の世界) に続く本章の図の系列です). 本章はこの階段を下から順に上っていきます. 各段は対応する節で実物 (定義とコード) として確かめるので, いまは全体の地図として眺めるだけでかまいません.

本章は 4 部構成です. 圏 では, 圏を定義し, Haskell の型と関数がそのまま圏をなすことを確かめます. 関手 では, 圏の準同型 = 関手を手作りの実例から一般定義へ進め, Haskell の型クラス Functor と関手則に接続します. 多相データ型 (関手のモデルたち) では, 関手のモデル (実例) として多相データ型を一つずつ増やします. 失敗を表す Maybe, 二者択一の Either (第7章で「後の章で扱う」と先送りした型), 既習のリスト, 実務で頻出の辞書 Map, その内部構造を確かめるツリーです. それぞれが なぜ実用で必要になるか も, ここで一つずつ語ります. 自然変換 で, 上の対応表を完成させます.

圏

圏の定義

第4章以来, 私たちは g . f と書けば関数がつながり, id を挟んでも何も変わらないことを当たり前に使ってきました. プログラムを「小さな関数の合成」として設計するこのやり方を支えているのは, 結合律と恒等律という 2 つの法則です. 圏とは, この「当たり前」を組 + 法則として明文化した構造です.

第8章では, モノイドを「組 (S, \bullet, e) であって, 結合律・単位元律という法則を満たすもの」として定義しました. 圏もまったく同じ流儀で定義します. 変わるのは 演算が乗る台 です. モノイドでは「値の集まり S」の上に演算 \bullet を載せましたが, 圏では 「射 (写像) の集まり」の上に合成という演算を載せます. 第7章で型を集合とみなしたときの「集合のあいだの写像」たち, それ自体を今度は材料 (台) にするわけです.

圏 (category) とは, 組

(\mathrm{Ob},\ \mathrm{Mor};\ \mathrm{dom},\ \mathrm{cod},\ \circ)

であって, 後述の 2 つの法則を満たすものです. 組の成分は次のとおりです.

• 対象 (object) の集まり \mathrm{Ob}: 射に付ける「ラベル」の世界です.
• 射 (morphism) の集まり \mathrm{Mor}: 演算が乗る台です.
• 1 項演算 \mathrm{dom}, \mathrm{cod} : \mathrm{Mor} \to \mathrm{Ob}: 各射に 入口 (domain) と 出口 (codomain) の対象を割り当てます. \mathrm{dom}\ f = A かつ \mathrm{cod}\ f = B のとき, f : A \to B と書きます.
• 2 項演算 \circ (合成, composition): ただし, どの 2 射にも使えるわけではありません. 定義域は, 第7章の内包表記で書ける部分

\{(g, f) \mid \mathrm{dom}\ g = \mathrm{cod}\ f\}

すなわち「f の出口と g の入口が一致する対」に限られます. f : A \to B と g : B \to C を合成すると g \circ f : A \to C です (\mathrm{dom}(g \circ f) = \mathrm{dom}\ f, \mathrm{cod}(g \circ f) = \mathrm{cod}\ g).

満たすべき 法則 は 2 つで, モノイドの結合律・単位元律に対応します.

• 結合律: \forall f, g, h.\ \ (h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f) (合成が定義できる限り)
• 恒等律 (恒等射の存在): \forall A.\ \exists\, \mathrm{id}_A : A \to A.\ \forall f, g.\ \ \mathrm{id}_A \circ f = f,\ \ g \circ \mathrm{id}_A = g (型が合う限り. この \mathrm{id}_A を対象 A の 恒等射 (identity) といいます)

組の成分を 1 枚の図にすると, こうなります. 点の集合 \mathrm{Ob} の中で, 各射は \mathrm{dom} の割り当てる入口から \mathrm{cod} の割り当てる出口へ渡る 1 本の矢印です. \mathrm{Mor} はその矢印たちを集めた集合で (中央の帯), 恒等射 \mathrm{id}_A (入口と出口がどちらも A の射) もその要素です.

モノイドと並べると, 対応がはっきり見えます.

量化子の並びにも注目してください. モノイドの単位元は \exists e.\ \forall x で, 全体でたった 1 つの e がすべての x に効くのでした. 圏の恒等射は \forall A.\ \exists\, \mathrm{id}_A で, 対象ごとに 1 つずつ 用意されます. 第8章で半群・モノイド・群を量化子の形で区別したのと同じく, 量化子の順序と位置が構造の性格を決めています.

成分の役割も, 第8章の「組 + 法則」の note と同じに分かれます. 台と演算はデータ (何を選ぶかで圏そのものが変わります), 法則は性質 (選んだデータについて成り立つかを検査します), そして 恒等射は, あれば \circ から一意に決まります (u と u' がともに A の恒等射なら u = u \circ u' = u'). mempty が \bullet から一意に決まったのと同じ理屈で, 恒等射はデータとして独立に選ぶものではなく, 演算の付属品です.

圏 Hask

Haskell の型と関数は, この定義をそのまま満たします. 対象を 型, 射を 関数 a -> b とみなすと, \mathrm{dom} / \mathrm{cod} は「引数の型と返り値の型」, 合成は関数合成 (.), 恒等射は恒等関数 id です. 合成 g . f が「f の返り値の型と g の引数の型が一致するときだけ」型検査を通ることは, \circ の定義域の制限そのものです. この圏を慣習的に Hask と呼びます.

-- 射 = 関数, 合成 = (.), 恒等射 = id
f :: Int -> Int
f = (+ 1)

g :: Int -> Int
g = (* 2)

main :: IO ()
main = do
  print ((g . f) 3)   -- 8   (g (f 3) = g 4 = 8)
  print (id 3)        -- 3   (恒等射)
  print ((f . id) 3)  -- 4   (id . f = f . id = f)

(.) と id は 第6章 で関数合成として導入しましたが, 圏論的にはこれが「射の合成」と「恒等射」にあたります. 圏の法則も成り立ちます. (f . g) . h と f . (g . h) はどちらも \x -> f (g (h x)) で等しく (結合律), id . f と f . id はどちらも f です (恒等律).

もう一つ, 対象が相異なる具体例で 合成 を図にしてみましょう. 3 つの型 Bool, Int, String を 対象, それらをつなぐ 2 つの関数を 射 とします.

-- 対象 = 型, 射 = 関数.  2 つの射:
--   fromEnum :: Bool -> Int      False → 0, True → 1
--   show     :: Int  -> String   数を文字列へ
showBit :: Bool -> String
showBit = show . fromEnum        -- 合成した射 g . f

main :: IO ()
main = do
  print (fromEnum True)    -- 1     (Bool -> Int)
  print (show (1 :: Int))  -- "1"   (Int -> String)
  print (showBit True)     -- "1"   (show . fromEnum, Bool -> String)

show . fromEnum は, Bool から String への 1 本の射 です. True を渡すと fromEnum で Int の 1 を経由し, show で "1" になります. この「対象・射・合成」の関係を描いたのが次の 可換図式 (commutative diagram) です. Bool から String へ至る 2 つの経路 (上を回って fromEnum してから show, あるいは対角の show . fromEnum を直接たどる) が 同じ射 になる (これを「図式が 可換 である」といいます) ことを表しています.

矢印が 射, 頂点が 対象, 対角線が 合成した射 です. 合成 g \circ f とは, まさに「この図で f の矢印と g の矢印を継いで得られる対角の矢印」にほかなりません.

圏はモノイドの一般化

ここまでの定義を, 第8章のモノイドとの関係として整理します. モノイドは「結合律 + 単位元律」を満たす演算 (<>) と単位元 mempty の組, 圏は「結合律 + 恒等律」を満たす合成 (.) と恒等射 id の組でした.

\underbrace{(h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)}_{\text{圏の結合律}}, \quad \underbrace{\mathrm{id} \circ f = f \circ \mathrm{id} = f}_{\text{圏の恒等律}}

実際, 圏は モノイドを一般化した構造 です. 第8章のモノイドは, 対象が 1 つだけの圏 (射 = その型の要素, 合成 = <>, 恒等射 = mempty) とみなせます (なお第7章の図1 では射 = 演算 でした. 同じ「一点のまわりのループ」の絵でも, 何を射に据えるかで読み方が変わります. この一点圏の読みでは 要素そのもの が射です). 対象が 1 つしかなければ「型の合う対だけ」という合成の制限は常に満たされ, 「対象ごとに 1 つ」の恒等射も全体で 1 つに戻ります. 圏の定義が, そのままモノイドの定義に退化するのです. 逆に言えば, 圏とは モノイドのレシピ (組 + 法則) はそのままに, 台を「値」から「射」へ持ち上げ, 合成の定義域を型で絞ったもの です. 冒頭の階段の 1 段目 (モノイド) から 2 段目 (圏 Hask) への持ち上げが, まさにこれでした.

言い換えだけでは心もとないので, 第8章で扱った具体的なモノイドを 1 つ, 実際に圏として読み直してみます. リストのモノイド ([\mathrm{Int}],\ \mathbin{+\!\!\!+},\ []) です. 圏の組 (\mathrm{Ob},\ \mathrm{Mor};\ \mathrm{dom}, \mathrm{cod}, \circ) の各成分に, モノイドの部品を次のように割り当てます.

同じ内容を図にすると, 左が第8章の読み方 (図1 の実例), 右が一点圏としての読み方です.

第8章ではモノイドの 台の要素 (値) だった [1,2] や [3] が, この読み方では 1 本ずつの 射 になります. 「リストを 2 つ選んで連結する」ことは「射を 2 本選んで合成する」ことにほかならず, モノイドの結合律・単位元律はそのまま圏の結合律・恒等律として読めます. この「モノイド = 一点圏」の読み方¹は, 次節で 最初の関手を作る材料 としてさっそく使います.

関手

中身への適用を共通化したい

第4章の map f は「リストの中身にだけ f を当てる」操作でした. 同じことを Maybe の中身にも, ツリーの中身にもしたい. しかも容器ごとに別々の書き方を覚えるのではなく, 「中身への適用」を 1 つの共通の操作として持ちたい. この需要に応える道具が関手です.

第8章の準同型の章では, 構造を保つ写像を「集合の対応であって, 構造の成分を対応先の成分に写すもの」として一般化し, モノイド準同型 (演算と単位元を保つ)・単調写像 (順序を保つ) などを 1 つの表に並べました. 圏も「組 + 法則」で定義された構造ですから, 同じ発想で「圏の構造 (合成と恒等射) を保つ写像」が考えられるはずです. それが 関手 (functor) で, 冒頭の階段の 3 段目にあたります. Haskell に型クラスとして用意されているのは関手のうち特殊なケースだけ (第8章でマグマや群に標準クラスが無かったのと同じ事情) なので, 一般の定義や型クラスからではなく, まず 関手そのものを具体的に 2 つ, 手で構成する ところから入ります.

最初の関手

1 つ目の材料は, 前節で作ったばかりの リストの一点圏 です. 行き先として, もう 1 つモノイドを一点圏に読み替えておきます. 第8章の加算モノイド (\mathrm{Int}, +, 0) です (\mathrm{Ob} = \{\star\}, \mathrm{Mor} = 各整数, 合成 = +, 恒等射 = 0).

この 2 つの圏の間の対応 F を定めます.

• 対象の対応: \star \mapsto \star. どちらの圏も対象は 1 つしかないので, 選びようがありません (自明な対応です).
• 射の対応: 出発点の圏の射 = リスト xs に, 行き先の圏の射 = その 長さ length xs を割り当てます.

この length は, 第7章の演算の節で「台の外へ出ていく関数」として, 第8章では モノイド準同型 として登場したものです. 関手が「保つべきもの」は圏の構造 (合成と恒等射) でした. 出発点の圏の合成は ++, 恒等射は []. 行き先の圏の合成は +, 恒等射は 0. つまり検査すべきは次の 2 つの等式で, これは第8章で確かめた準同型の 2 法則そのものです.

\mathrm{length}\ (xs \mathbin{+\!\!\!+} ys) = \mathrm{length}\ xs + \mathrm{length}\ ys, \qquad \mathrm{length}\ [] = 0

main :: IO ()
main = do
  -- 射の対応: リスト xs ↦ 整数 length xs
  print (length [10, 20, 30])            -- 3
  -- 合成を保つか: F (xs ++ ys) = F xs + F ys
  print (length ([1,2] ++ [3,4,5]))      -- 5
  print (length [1,2] + length [3,4,5])  -- 5   (一致)
  -- 恒等射を保つか: F [] = 0
  print (length ([] :: [Int]))           -- 0

これで 関手が 1 つ, 手の中にできました. 注目してほしいのは, ここに型クラスが 1 つも出てこないことです. 関手とは「対応 + 法則」であって, 第8章のマグマや群に標準クラスが無かったのと同じように, この関手のための型クラスは Haskell にありません. あるのは, ただの関数 length と, 検査できる 2 つの等式だけです.

同じ形は, 第8章の準同型ぜんぶに言えます. stats = mconcat . map singleton も, リストの一点圏から Stats の一点圏への関手です. 第8章で見た「2 つの経路が同じ要約にたどり着く」四角形を, 圏の言葉で読み直してみましょう.

前節で, モノイドは「対象が 1 つだけの圏」(射がその型の要素, 射の合成がモノイド演算, 恒等射が単位元) とみなせることを見たばかりです. その目でこの四角形を読むと:

• 横の 2 本の矢印 ++ と <> は, それぞれの一点圏の 射の合成.
• 縦の stats が, 一方の圏の射 (= リスト) を他方の圏の射 (= 要約) へ送る 射の対応.
• 四角形が閉じること (stats (xs ++ ys) = stats xs <> stats ys) は, stats が 合成を保つ こと.
• もう 1 つの法則 (stats [] = mempty) は, stats が 恒等射を保つ こと.

つまり モノイド準同型とは, 一点圏どうしの間の関手 にほかなりません. 第8章で「構造を保つ写像」と呼んでいたものの正体が, これです. mkZ7 も, そして fromEnum も, モノイド (\mathrm{Bool}, \wedge, \mathrm{True}) から (\mathrm{Int}, \times, 1) への準同型と読めば (\mathrm{fromEnum}\,(x \wedge y) = \mathrm{fromEnum}\,x \times \mathrm{fromEnum}\,y と \mathrm{fromEnum}\,\mathrm{True} = 1 が成り立ちます. Bool は有限なので全数検査できます), みなこの意味の関手です.

リストの世界への複写

一点圏どうしでは, 対象の対応が自明でした. 今度は 対象が複数ある圏 を使って, 対象の対応が本気で働く例を作ります. 出発点は, 「圏 Hask」の節で使った小さな圏 \mathcal{C} (対象は Bool, Int, String の 3 つ, 射は fromEnum, show, その合成 show . fromEnum, そして各対象の恒等射 id) です (図2 の世界の一部です). 行き先は, それぞれの型の リスト版 の世界 \mathcal{D} (対象が [Bool], [Int], [String] で, 射がその間の関数) とします. どちらも Hask の一部を切り出した圏です.

\mathcal{C} から \mathcal{D} への対応 F を, 2 本立てで定めます. まず 対象の対応 です. 各型に, そのリスト型を割り当てます.

次に 射の対応 です. 各関数 f : A \to B に, 「リストの各要素に f を適用する関数」map f を割り当てます (第4章の map です). 行き先の型が F\,A \to F\,B の形にそろっていることを確認してください.

これで対応そのものは定まりましたが, まだ「構造を保つ」ことを検査していません. 圏の構造の成分は合成と恒等射でしたから, 確かめるべきは 2 つです. F は恒等射を恒等射に写すか (F\,\mathrm{id} = \mathrm{id}), 合成してから写しても写してから合成しても同じか (F\,(\mathtt{show} \circ \mathtt{fromEnum}) = F\,\mathtt{show} \circ F\,\mathtt{fromEnum}). どちらも実行して確かめられます.

main :: IO ()
main = do
  -- 射の対応: fromEnum ↦ map fromEnum  ([Bool] から [Int] への射になる)
  print (map fromEnum [False, True])               -- [0,1]
  -- 恒等射を保つか: F id = id
  print (map id [False, True])                     -- [False,True]  (id と同じ)
  -- 合成を保つか: F (show . fromEnum) = F show ∘ F fromEnum
  print (map (show . fromEnum) [False, True])      -- ["0","1"]
  print ((map show . map fromEnum) [False, True])  -- ["0","1"]  (一致)

一致しました. 各対象に「そのリスト版」を, 各射に「各要素への適用」を割り当てる. これで, 圏 \mathcal{C} から圏 \mathcal{D} への 関手が 1 つ, 手の中にできました.

関手の一般定義

いまの 2 つの構成から個別の事情を取り除くと, そのまま関手の一般定義になります.

圏は \mathrm{Ob} と \mathrm{Mor} という 2 つのソート (2 種類の台) を持つ構造でした. だから, 構造を保つ写像も ソートごとに 1 本ずつ 用意するのが筋です. これは第8章の準同型 (台の対応 1 本 + 保存則) の, 2 ソート版にあたります.

関手 (functor) とは, 圏 \mathcal{C} から圏 \mathcal{D} への 写像の組

F = (F_{\mathrm{Ob}},\ F_{\mathrm{Mor}}), \qquad F_{\mathrm{Ob}} : \mathrm{Ob}_{\mathcal{C}} \to \mathrm{Ob}_{\mathcal{D}}, \quad F_{\mathrm{Mor}} : \mathrm{Mor}_{\mathcal{C}} \to \mathrm{Mor}_{\mathcal{D}}

であって, 圏の 演算ごとに保存則を 1 本ずつ 満たすものです (関手則).

• 入口・出口を保つ: f : A \to B ならば F_{\mathrm{Mor}}\,f : F_{\mathrm{Ob}}\,A \to F_{\mathrm{Ob}}\,B (\mathrm{dom}・\mathrm{cod} の保存)
• 合成を保つ: F_{\mathrm{Mor}}\,(g \circ f) = F_{\mathrm{Mor}}\,g \circ F_{\mathrm{Mor}}\,f
• 恒等射を保つ: F_{\mathrm{Mor}}\,(\mathrm{id}_A) = \mathrm{id}_{F_{\mathrm{Ob}}\,A}

圏の成分と関手の成分は, こうして 1 対 1 に対応 します. ソートには写像を, 演算には保存則を, 1 本ずつです.

ふだんは添字を省き, どちらの写像も同じ文字 F で書きます (F\,A, F\,f). 本章でも以降はそう書きますが, 中身は 2 本の写像の組 であることを覚えておいてください.

手作りした 2 つの関手がこの形をしていることを見比べてみてください. length は対象の対応が自明 (\star \mapsto \star) で射の対応が length, 複写の F は対象の対応がリスト版 (1 つ目の表)・射の対応が map (2 つ目の表). 法則はどちらもコードで検査したとおりです. 第8章の一般化表に, もう 1 行加わったと言ってもかまいません.

ズームアウトの図で言えば, 冒頭の階段の 3 段目に来たことになります. 図2 (点 = 型, 射 = 関数の世界) から一歩引くと, 図2 全体が 1 つの点 (= 圏) に潰れ, 点と点を結ぶ新しい射が現れます. いま手作りした F は, この「圏どうしを結ぶ射」の実物です (図3).

圏の圏 Cat

リストのリスト [[a]] や Maybe (Maybe a) のような「関手を 2 回適用した形」は, 第10章で, それ自体 1 つの対象として扱いたくなります (モナドの乗法 \mu : T \circ T \Rightarrow T の材料になります). そのためには「関手どうしを合成する」演算が要ります. その演算が住む場所を, ここで作ります.

図3 のラベルには 圏 Cat と書きました. 「圏」と名乗るからには, この図の世界自身が圏の定義 (組 + 法則) を満たしていなければなりません. 点 = 圏, 射 = 関手, までは決まっています. 足りない成分は 射の合成 と 恒等射 の 2 つで, どちらもいま手元にある材料から作れます.

関手は合成できます. 関手 F : \mathcal{C} \to \mathcal{D} と G : \mathcal{D} \to \mathcal{E} があれば, 対象の対応どうし・射の対応どうしをそのまま継いだ対応

G \circ F : \mathcal{C} \to \mathcal{E}, \qquad A \mapsto G\,(F\,A), \qquad f \mapsto G\,(F\,f)

もまた関手です. 関手則は「まず F が保ち, つづけて G が保つ」ので, そのまま引き継がれます. 実物も作れます. 複写の関手 F (対象は Bool ↦ [Bool], 射は f ↦ map f) の行き先の世界 \mathcal{D} に, もう一度複写の関手 F' (対象は [Bool] ↦ [[Bool]]) を重ねると, 合成 F' \circ F は対象を 2 重リストへ (Bool ↦ [[Bool]]), 射を 2 重の map へ (f ↦ map (map f)) 写す関手になります.

ghci> map (map fromEnum) [[False, True], [True]]
[[0,1],[1]]

この「同じ形の関手を重ねた合成」は, 第10章で m (m a) (モナドの演算の材料 T \circ T) として主役になります.

恒等関手 (identity functor). 各対象を自分自身に (A \mapsto A), 各射を自分自身に (f \mapsto f) 対応させる対応 \mathrm{Id}_{\mathcal{C}} : \mathcal{C} \to \mathcal{C} は, 何もしないがゆえに関手則を自明に満たす関手です. そして関手の合成に対して G \circ \mathrm{Id}_{\mathcal{C}} = G, \mathrm{Id}_{\mathcal{D}} \circ F = F. つまり 合成の単位 として振る舞います. 恒等関数 id が合成 (.) の単位だったことの, 1 段上での再演です.

これで成分が揃ったので, 圏の定義と照合できます. \mathrm{Ob} = \{\mathcal{C}, \mathcal{D}, \dots\} (圏たち), \mathrm{Mor} = \{F,\ G,\ G \circ F,\ \mathrm{Id}_{\mathcal{C}}, \dots\} (関手たち), 合成 = 関手の合成, 恒等射 = 恒等関手. 結合律は「対応を順に継ぐだけ」なので関数合成と同じ理屈で成り立ち, 恒等律はいま確かめたとおりです. つまり 図3 の世界は, それ自身が圏の定義を満たす 1 つの圏 です. 対象が圏, 射が関手の 圏の圏 (category of categories) Cat です (集合の大きさに関わる厳密な但し書きは, Hask の発展 note と同じく理想化して省きます). 冒頭の階段の 3 段目「圏 Cat: 台 = 関手, 単位 = 恒等関手」は, これで回収されました. 圏を調べるために作った道具 (関手) が, そのまま一段上の圏の射になる. この入れ子こそ, 同じレシピで台を持ち上げ続けられる理由です.

リスト関手と型クラス Functor

2 つ目に手作りした F は, 対象 3 つ・射 4 本に制限した, いわば ミニチュアのリスト関手 でした. この制限を外し, すべての型 a に [a] を, すべての関数 f :: a -> b に map f を割り当てると, Hask から Hask 自身への関手 (リスト関手) になります.

• 対象の対応: 型 a を型 [a] へ. これを担うのが型構築子 [] です.
• 射の対応: 関数 f :: a -> b を map f :: [a] -> [b] へ.

関手則も, 手作り版で検査した等式の一般形で, map について経験的に知っている事実の言い換えです. map id は「各要素に何もしない」ので id と同じ (恒等射を保つ). map (g . f) は「各要素に f してから g する」を一度に行うもので, map f してから map g するのと同じ (合成を保つ).

\mathrm{map}\ \mathrm{id} = \mathrm{id}, \qquad \mathrm{map}\ (g \circ f) = \mathrm{map}\ g \circ \mathrm{map}\ f

Haskell では, Hask から Hask への関手の「射の対応」を型クラスのメソッドにしています. それが Functor クラスで, 射の対応の名前が fmap です. 個々のインスタンスでは, 型構築子 f が対象の対応を, fmap の実装が射の対応を担い, 関手則と合わせて 1 つの関手になります. 注意してほしいのは抽象度の段差です. fmap という名前そのものは個々の関手ではなく, あらゆる関手の「射の対応」を同じ名前で呼べるようにした一般化 であり, 関手より 1 段抽象的な道具です. 先に関手そのもの (手作りの F) を持っているからこそ, この一般化を「何の一般化か」を見失わずに読めます.

class Functor f where
  fmap :: (a -> b) -> f a -> f b

fmap は「a から b への関数」を「f a から f b への関数」に持ち上げます. これがまさに「射 f : a \to b を F\,f : f\,a \to f\,b に対応させる」操作です. つまり fmap は, リスト専用だった map を 任意の関手に一般化 したものです. map の型 (a -> b) -> [a] -> [b] の [] を一般の型構築子 f で置き換えると, ちょうど fmap :: (a -> b) -> f a -> f b になります.

\underbrace{(a \to b) \to [a] \to [b]}_{\text{map (リスト専用)}} \;\;\Longrightarrow\;\; \underbrace{(a \to b) \to f\,a \to f\,b}_{\text{fmap (任意の関手)}}

読み方はここまでと同じで, fmap は「f を適用する前の世界で使う関数 a -> b を, 適用した後の世界で使える関数 f a -> f b に変換する」道具 です. 最初の例と見比べてください. length が「リストの世界の射」を「整数の世界の射」に写したように, fmap は「a の世界の射」を「f a の世界の射」に写します. 射の対応 = 関数の変換です. 変換のしかたは関手ごとに決まります. リストなら「各要素に適用する関数」へ, 後で見る Maybe なら「Just の中身には適用し Nothing は素通しする関数」へ, 木なら「各ノードに適用する関数」へ.

リストの fmap の中身は, 第4章 の map の再帰定義をそのまま書いたものです. 組込みのインスタンスと同じ定義を fmapList として書き下し, fmap・map と一致することを確かめます.

-- リストの fmap の中身 = 第4章の map の再帰定義そのもの
fmapList :: (a -> b) -> [a] -> [b]
fmapList _ []       = []
fmapList f (x : xs) = f x : fmapList f xs

main :: IO ()
main = do
  print (fmapList (* 2) [1, 2, 3])  -- [2,4,6]
  print (fmap     (* 2) [1, 2, 3])  -- [2,4,6]   (組込みの fmap = map)
  print (map      (* 2) [1, 2, 3])  -- [2,4,6]

3 つの結果はすべて一致します. fmapList f は「要素に使う関数 f」を「リスト全体に使える関数」へ変換したもので, 変換後の関数は空リストには何もせず, (x : xs) の各要素だけを f で置き換えます. この実装ではリストの長さと並びも変わりません. ただし, これは map の具体的な振る舞いであり, 関手則そのものではありません. 関手であることを保証する条件は, あくまで恒等射と合成を保つ 2 本の等式です.

標準ライブラリでは, この射の対応が次のインスタンス宣言で与えられています (実際の定義は fmap = map の 1 行で, 下はそれを場合分けに開いた等価形です).

-- リスト: 標準ライブラリの定義を場合分けに開いたもの (等価)
instance Functor [] where
  fmap _ []       = []
  fmap f (x : xs) = f x : fmap f xs

ただし, ここで押さえておいてほしいのは, Functor クラスに載る関手は, 関手全体のごく一部 だということです. クラスの形 (f が型構築子, fmap が 1 本の多相関数) から, 載るための条件が 3 つ読み取れます.

1. 域も余域も Hask: 表せるのは Hask から Hask 自身への関手 (自己関手) だけです. 最初に作った length (一点圏 → 一点圏) は, 立派な関手ですが Functor インスタンスにはなれません. 両端の圏が Hask ではないからです.
2. 対象の対応が型構築子で書ける: F(A) = f\,A という一様な形 (種 f :: * -> *) に限られます. 「Int は Bool へ, String は Int へ」のような場当たりな対象の対応は書けません.
3. 射の対応がパラメトリック多相 1 本: fmap は, 型 a, b を覗いて型ごとに違う変換をすることができません.

第8章のマグマ・群のときと同じ「標準クラスの有無」で整理すると, こうなります.

同じ「関手」という言葉が, どの圏を選ぶかで length も fmap も指します. この区別がつくと, 第8章の代数 (モノイドと準同型) と本章の圏論 (圏と関手) が, ひと続きの話として見えてきます.

関手則

第8章の代数則と同じく, Functor インスタンスにも守るべき法則があります. 関手則 (functor laws) といい, 「関手の一般定義」の節の保存則 (恒等射と合成を保つ) を fmap の言葉に直したものです.

\mathrm{fmap}\ \mathrm{id} = \mathrm{id}, \qquad \mathrm{fmap}\ (g \circ h) = \mathrm{fmap}\ g \circ \mathrm{fmap}\ h

fmap id = id は「各中身に何もしなければ全体も変わらない」, fmap (g . h) = fmap g . fmap h は「持ち上げてから合成しても, 合成してから持ち上げても同じ」という要請です. リスト関手では, map について検査した 2 つの等式がちょうどこの形でした. この後の節で Maybe やツリーのインスタンスを与えるたびに, この 2 本が成り立つことを確認していきます.

多相データ型

圏・関手という骨組みは手に入りました. ここからは主役を モデル (実例) に移します. 第8章で「モノイド」という 1 つの構造に対して数の加算・リスト連結・Stats という複数のモデルを並べたように, 本部では 「Hask から Hask への関手」のモデル を一つずつ増やしていきます. 素材は 多相データ型 です. まず型引数を持つデータ型の文法を整え, そのうえで Maybe / Either / リスト / Map / ツリーを順に見ます.

型構築子と種

関手のデータ部は, 圏の 2 ソートに対応する 2 本の写像 (対象の対応 F_{\mathrm{Ob}} と射の対応 F_{\mathrm{Mor}}) の組でした. Haskell ではこの 2 本が 言語の別の層 に住みます: 射の対応は値の層の関数 fmap, そして 対象 (型) の対応 を担う文法が, 型の層の 型引数を持つデータ型 (型構築子) です.

これまで定義してきたデータ型は, MyDogs や Color のように中身の型が固定されていました. これに対し, 中身の型を後から決められる データ型を作れます. 型の定義に 型変数 (型引数) を持たせるのです.

data Box a  = Box a          -- 任意の型 a を 1 つ包む箱
data Pair a b = Pair a b     -- 型 a と型 b を 1 つずつ持つ組

data Box a = Box a の左辺 Box a の a が 型引数 です. これは「a をどの型にするかは, 使うときに決める」ことを表します. Box Int なら Int を包む箱, Box String なら文字列を包む箱になります. このように型引数を持つデータ型を 多相データ型 (polymorphic data type) といいます.

ここで, 左辺の Box と右辺の Box は役割が違う点に注意してください.

• 左辺の Box は 型構築子 (type constructor) です. それ自体は型ではなく, 型 a を 1 つ受け取って Box a という型を作ります. これを 種 (kind) という記法で Box :: * -> * と書きます (* が「具体的な型」を表し, 「型を 1 つ受け取って型を返す」ことを * -> * と表現します).
• 右辺の Box は データ構築子 (data constructor) です. こちらは値を 1 つ受け取って Box a 型の値を作る関数で, 型は Box :: a -> Box a です.

Pair a b は型引数を 2 つ取るので, 型構築子の種は Pair :: * -> * -> * です. このように, 型引数の個数が種の矢印の本数に対応します.

実は, すでに使ってきた リスト [a] も多相データ型です. [] が型構築子 ([] :: * -> *), 要素の型 a を受け取って [a] 型を作ります. [Int], [Char], [Bool] がすべて同じ [] から作られるのは, リストが「中身の型を後から決められる」多相データ型だからです.

種の記法で言い直すと, 関手 (Hask → Hask) のデータ部との対応はこうなります. 種 * -> * の型構築子が「対象の対応」 (型 a を型 f a へ) を与え, そこに 「射の対応」fmap を関手則を満たすように与えられれば, Functor のインスタンス (関手のモデル) になります. 前節のリストがまさにこの形でした ([] が対象の対応, map が射の対応).

newtype Pred a = Pred (a -> Bool)   -- a の述語 (a を受け取って判定する)

-- 実行例
main :: IO ()
main = do
  print (unBox (fmap (+ 1) (Box 10)))      -- 11
  print (unBox (fmap show (Box (42 :: Int))))  -- "42"

data Box a = Box a deriving Show

instance Functor Box where
  fmap f (Box x) = Box (f x)

unBox :: Box a -> a
unBox (Box x) = x

main :: IO ()
main = do
  print (unBox (fmap (+ 1) (Box 10)))          -- 11
  print (unBox (fmap show (Box (42 :: Int))))  -- "42"

Maybe

第4章・第7章で何度か「Maybe は後の章で扱う」と先送りしてきました. ここで回収します.

第7章で関数を特別な関係として扱った節では, head :: [a] -> a のような 部分関数 の問題を見ました. 空リストという「出力が定義されていない入力」があるのに, 型の上では「必ず答えを返す」かのように見えてしまい, 適用すると実行時エラーで停止するのでした. 直和型のレコードセレクタ (同じく第7章「レコード構文」節の dogAge) も同様です. そして同じ節で, 対処の方向は 2 つあることを整理しました. (1) 定義域を型で絞る (スマートコンストラクタ) と, (2) 出力を広げる です. Maybe は, この 「出力を広げる」道の主役 です.

Maybe は, 「答えを返せないかもしれない」ことを 型で表す ための多相データ型です. 定義は次の通りで, 第7章の 直和型 に型引数 a を付けたものです.

data Maybe a = Nothing | Just a

• Nothing は「値が無い (失敗した)」ことを表すコンストラクタです. 引数を取りません.
• Just a は「値 a がある (成功した)」ことを表すコンストラクタで, 中身 a を 1 つ包みます.

型 Maybe a は「a の値が 1 つあるか, 何も無いかのいずれか」を表します. たとえば Maybe Int の値は Just 3 や Just (-1) や Nothing です. 失敗しうる計算の結果を Maybe で包むと, 失敗の可能性が型に現れる ため, 呼び出す側はパターンマッチで両方の場合に対処せざるをえなくなります.

集合論的には, Just でくるんだ a の値全体に, 値を持たない Nothing を 1 つ足したものなので,

\mathrm{Maybe}\ a = \{\mathrm{Nothing}\} \cup \{\mathrm{Just}\ x \mid x \in a\}

となります. これは a の要素数に 1 を足した集合, すなわち 第7章の直和の記法で a + 1 (要素 1 つの集合 {Nothing} との直和) です.

error で停止していた head を, Maybe を返す 全域関数 に書き直してみます. 同様に, 失敗しうる割り算も Maybe で安全にできます.

-- 空リストでも停止しない安全な head
safeHead :: [a] -> Maybe a
safeHead []      = Nothing
safeHead (x : _) = Just x

-- 0 で割るときは Nothing を返す安全な割り算
safeDiv :: Int -> Int -> Maybe Int
safeDiv _ 0 = Nothing
safeDiv x y = Just (x `div` y)

main :: IO ()
main = do
  print (safeHead [1, 2, 3 :: Int])  -- Just 1
  print (safeHead ([] :: [Int]))     -- Nothing
  print (safeDiv 10 2)               -- Just 5
  print (safeDiv 10 0)               -- Nothing

safeHead [] が Nothing を返すので, 空リストでも停止しません. 型 [a] -> Maybe a を見るだけで「失敗しうる」ことが分かり, 呼び出し側は Just と Nothing の両方を処理する必要があります. 結果を使う側はパターンマッチで取り出します.

describeMaybe :: Maybe Int -> String
describeMaybe Nothing  = "値なし"
describeMaybe (Just n) = "値は " ++ show n

main :: IO ()
main = do
  putStrLn (describeMaybe (safeDiv 10 2))  -- 値は 5
  putStrLn (describeMaybe (safeDiv 10 0))  -- 値なし

Nothing のケースを書き忘れると GHC が網羅性の警告を出すため, 「失敗の処理を忘れる」ミスをコンパイル時に気づけます. これが, 部分関数を Maybe で書き換える最大の利点です.

Maybe は関手

Maybe は種 Maybe :: * -> * の型構築子で, 組込みで Functor のインスタンスです. fmap は「Just の中身に関数を適用し, Nothing はそのまま返す」操作になります.

-- Maybe: 標準ライブラリの定義 (読むための抜粋)
instance Functor Maybe where
  fmap _ Nothing  = Nothing
  fmap f (Just x) = Just (f x)

使ってみます.

main :: IO ()
main = do
  print (fmap (+ 1) (Just 3))            -- Just 4
  print (fmap (+ 1) (Nothing :: Maybe Int))  -- Nothing

fmap (+1) (Just 3) が Just 4 になり, Nothing には何も起きません. fmap (+1) は「Int に使う関数 (+1)」を「Maybe Int に使える関数」へ変換したもので, 変換後の関数は Just の中身には元の関数を適用し, Nothing は素通しします. リストの fmap が長さと並びを保ったのと同じく, 「Nothing か Just か」という 構造は変わりません.

-- 実行例
main :: IO ()
main = do
  print (safeLast [1, 2, 3 :: Int])   -- Just 3
  print (safeLast ([] :: [Int]))      -- Nothing
  print (lookupKey "b" [("a", 1), ("b", 2)])  -- Just 2
  print (lookupKey "z" [("a", 1), ("b", 2)])  -- Nothing

safeLast :: [a] -> Maybe a
safeLast []       = Nothing
safeLast [x]      = Just x
safeLast (_ : xs) = safeLast xs

lookupKey :: Eq k => k -> [(k, v)] -> Maybe v
lookupKey _ [] = Nothing
lookupKey key ((k, v) : rest)
  | key == k  = Just v
  | otherwise = lookupKey key rest

main :: IO ()
main = do
  print (safeLast [1, 2, 3 :: Int])           -- Just 3
  print (safeLast ([] :: [Int]))              -- Nothing
  print (lookupKey "b" [("a", 1), ("b", 2)])  -- Just 2
  print (lookupKey "z" [("a", 1), ("b", 2)])  -- Nothing

Either

Maybe の Nothing は「失敗した」ことしか伝えられませんでした. 失敗の 理由 も一緒に運びたいときに使うのが Either です. Either は「2 つの型のどちらか一方の値を持つ」多相データ型で, 型引数を 2 つ取ります.

data Either a b = Left a | Right b

• Left a は型 a の値を包むコンストラクタです.
• Right b は型 b の値を包むコンストラクタです.

Either a b の値は Left <a の値> か Right <b の値> のいずれかです. これは 第7章の直和型そのもので, 集合論的には a と b の タグ付き直和

\mathrm{Either}\ a\ b = a + b

になります (Left / Right というタグで両者を区別するので, 共通要素があっても素な和になります).

エラー処理では, Left を失敗 (理由つき) / Right を成功 に使うのが Haskell の慣習です. 「正しい (right)」と「右 (right)」を掛けた語呂で, 成功を Right に割り当てると覚えるとよいでしょう.

では, 失敗の理由 a はどんな型で持たせるべきでしょうか. いちばん手軽なのは Either String b のように 文字列 で持たせることですが, 純粋関数型らしく設計するなら, 起こりうるエラーを列挙した専用の直和型 を作るほうが適切です. 「ある計算で起こりうる失敗」はふつう有限個しかありません. その候補を 第7章 の 直和型 (列挙型) としてあらかじめ書き出しておくのです. 割り算の失敗が「0 除算」1 種類なら, 候補全体を直和で書けば \mathrm{DivError} = \mathrm{DivByZero} (エラーの種類が増えれば e_1 + e_2 + \cdots と構築子を足していく) となります. 前節の safeDiv を, この専用エラー型で書き直します.

-- 起こりうる失敗を列挙した専用のエラー型 (いまは 1 種類)
data DivError = DivByZero
  deriving (Show, Eq)

safeDivE :: Int -> Int -> Either DivError Int
safeDivE _ 0 = Left DivByZero
safeDivE x y = Right (x `div` y)

main :: IO ()
main = do
  print (safeDivE 10 2)  -- Right 5
  print (safeDivE 10 0)  -- Left DivByZero

safeDiv が Nothing を返していた箇所で, safeDivE は Left DivByZero と 理由つきの失敗 を返します. 理由が「文字列という値」ではなく 専用の型 になったことで, 3 つの利点が生まれます.

• 失敗が閉じた集合になる: 起こりうるエラーが型の構築子として列挙されるので, 「どんな失敗がありうるか」を型を見るだけで把握できます. 文字列だと理由は無限に書けてしまい, 呼び出す側は一覧を追えません.
• 網羅性を検査できる: Left を受けてパターンマッチするとき, 構築子を書き漏らすと GHC が警告します (第7章 の直和型と同じ利点). 文字列にはこの検査が効きません.
• 表示 (プレゼンテーション) を値から分離できる: 「何が起きたか」は DivByZero という値で持ち, 「どう見せるか」は 別の関数 で与えます.

最後の点を担うのが, エラー値を人間向けの文字列へ変換する関数です. 受け取る側は, これと Right の整形を組み合わせて表示します.

-- エラー値を人間向けメッセージへ (表示を値から分離する)
renderDivError :: DivError -> String
renderDivError DivByZero = "0 では割れません"

report :: Either DivError Int -> String
report (Left e)  = "エラー: " ++ renderDivError e
report (Right n) = "結果: " ++ show n

main :: IO ()
main = do
  putStrLn (report (safeDivE 10 2))  -- 結果: 5
  putStrLn (report (safeDivE 10 0))  -- エラー: 0 では割れません

renderDivError を差し替えれば, 同じ DivByZero を英語で出すことも, ログ用に整形することもできます. 「何が起きたか (値)」と「どう見せるか (文字列)」を分けられる のが, 専用エラー型の実務上の効きどころです.

-- 文字列版: 手軽だが「閉じた集合」でも「網羅検査」でもない
safeDivS :: Int -> Int -> Either String Int
safeDivS _ 0 = Left "0 では割れません"
safeDivS x y = Right (x `div` y)

ghci> print (Left "0 では割れません" :: Either String Int)
Left "0 \12391\12399\21106\12428\12414\12379\12435"   -- ASCII の "0 " は残り, 日本語だけ化ける

ghci> import Text.Show.Unicode (uprint)
ghci> uprint (Left "0 では割れません" :: Either String Int)
Left "0 では割れません"   -- エスケープされない

Maybe と Either の使い分けは「失敗の理由が要るか」です. 理由が不要なら Maybe, 理由を運びたいなら Either を使い, その理由の型は 専用の直和型を第一候補 に (手軽さを優先するなら String でも) 選びます.

Either a は関手

Either a も関手 です. ただし Either は型引数を 2 つ取る (Either :: * -> * -> *) ため, 関手にするには片方を固定して Either a (種が * -> *) の形にします. fmap は Right の中身にだけ作用し, Left (慣習上は失敗) はそのまま素通しします.

-- Either: 標準ライブラリの定義 (読むための抜粋)
instance Functor (Either a) where
  fmap _ (Left e)  = Left e
  fmap f (Right x) = Right (f x)

使ってみます.

main :: IO ()
main = do
  print (fmap (+ 1) (Right 3 :: Either String Int))  -- Right 4
  print (fmap (+ 1) (Left "err" :: Either String Int))  -- Left "err"

Maybe と Either a は, どちらも「失敗するかもしれない値」を表す関手です. fmap で成功側 (Just / Right) の中身だけを加工しつつ, 失敗 (Nothing / Left) が出たらそれ以降の加工を素通しできます. エラー処理の文脈では, この性質が便利です.

-- 実行例
main :: IO ()
main = do
  print (checkAge 30)                                    -- Right 30
  print (checkAge (-1))                                  -- Left Negative
  print (checkAge 200)                                   -- Left TooLarge
  putStrLn (either renderAgeError show (checkAge (-1)))  -- 年齢が負です

-- ① 起こりうる失敗を直和型で列挙する
data AgeError = Negative | TooLarge
  deriving (Show, Eq)

-- ② その型を Left に載せて検証する
checkAge :: Int -> Either AgeError Int
checkAge n
  | n < 0     = Left Negative
  | n > 150   = Left TooLarge
  | otherwise = Right n

-- ③ 表示は値と分離し, render 関数で与える
renderAgeError :: AgeError -> String
renderAgeError Negative = "年齢が負です"
renderAgeError TooLarge = "年齢が大きすぎます"

main :: IO ()
main = do
  print (checkAge 30)                                    -- Right 30
  print (checkAge (-1))                                  -- Left Negative
  print (checkAge 200)                                   -- Left TooLarge
  putStrLn (either renderAgeError show (checkAge (-1)))  -- 年齢が負です

Maybe / Either の基本操作

Maybe と Either はよく使われるため, 標準ライブラリにパターンマッチを定型化した関数が用意されています. 毎回 case やパターンマッチを書かずに済みます.

maybe は「Nothing のときの既定値」と「Just x のときに x に適用する関数」を渡すと, Maybe を 1 つの値に畳み込みます.

maybe :: b -> (a -> b) -> Maybe a -> b

fromMaybe は Maybe から値を取り出し, Nothing のときは既定値を返します (Data.Maybe にあります).

fromMaybe :: a -> Maybe a -> a

either は Either 版で, Left のときと Right のときの 2 つの関数を渡します.

either :: (a -> c) -> (b -> c) -> Either a b -> c

これらを使うと, 前節までのパターンマッチを短く書けます.

import Data.Maybe (fromMaybe)

main :: IO ()
main = do
  -- maybe 既定値 関数 Maybe値
  print (maybe 0 (+ 100) (Just 5))         -- 105
  print (maybe 0 (+ 100) Nothing)          -- 0
  -- fromMaybe 既定値 Maybe値
  print (fromMaybe (-1) (safeDiv 10 2))    -- 5
  print (fromMaybe (-1) (safeDiv 10 0))    -- -1
  -- either 左用関数 右用関数 Either値 (Left は renderDivError で文字列化)
  putStrLn (either (\e -> "エラー: " ++ renderDivError e) (\n -> "結果: " ++ show n) (safeDivE 10 2))  -- 結果: 5
  putStrLn (either (\e -> "エラー: " ++ renderDivError e) (\n -> "結果: " ++ show n) (safeDivE 10 0))  -- エラー: 0 では割れません

Data.Maybe には, Maybe の集まりを扱う関数もあります. isJust / isNothing は中身の有無を判定し, catMaybes は Maybe のリストから Just の中身だけを集め, mapMaybe は「各要素に Maybe を返す関数を適用し, Just のものだけ残す」操作です.

import Data.Maybe (isJust, catMaybes, mapMaybe)

-- 文字列を Int に変換しようとし, 数字でなければ Nothing
parseInt :: String -> Maybe Int
parseInt s = case reads s of
  [(n, "")] -> Just n
  _         -> Nothing

main :: IO ()
main = do
  print (isJust (Just 3))                          -- True
  print (isJust (Nothing :: Maybe Int))            -- False
  print (catMaybes [Just 1, Nothing, Just 3])      -- [1,3]
  print (mapMaybe parseInt ["1", "x", "3", "y"])   -- [1,3]

catMaybes は失敗 (Nothing) を捨てて成功だけを集め, mapMaybe は「変換と絞り込みを同時に行う」関数です. 「数字に変換できる文字列だけを集めて整数にする」といった処理を 1 行で書けます.

-- 実行例 (理由には本文の DivError を使う)
main :: IO ()
main = do
  print (toEither DivByZero (safeDiv 10 2))          -- Right 5
  print (toEither DivByZero (safeDiv 10 0))          -- Left DivByZero
  print (toEither "0 では割れません" (safeDiv 10 2))  -- Right 5   (同じ toEither が String でも動く)

data DivError = DivByZero
  deriving (Show, Eq)

safeDiv :: Int -> Int -> Maybe Int
safeDiv _ 0 = Nothing
safeDiv x y = Just (x `div` y)

-- 理由の型 e を固定しない (専用エラー型でも String でも動く)
toEither :: e -> Maybe a -> Either e a
toEither reason Nothing  = Left reason
toEither _      (Just x) = Right x

main :: IO ()
main = do
  print (toEither DivByZero (safeDiv 10 2))          -- Right 5
  print (toEither DivByZero (safeDiv 10 0))          -- Left DivByZero
  print (toEither "0 では割れません" (safeDiv 10 2))  -- Right 5

リスト

第7章では「リストが代数的にどのように定義されるかは後の章で扱う」と先送りしていました. その回収です.

リストは再帰的な代数的データ型

組込のリスト [a] は, 第7章で作った再帰型 Nat (Zero | Succ Nat) と同じ仲間で, 自分自身を参照する代数的データ型 です. 違いは, Succ が「1 つ前の自然数」を抱えるだけだったのに対し, リストは各段に 要素の値も一緒に 抱える点です. リストの構築子は次の 2 つで,

• [] : 空リスト. 要素を 1 つも持たない基底.
• (:) : cons. 先頭の要素 x と残りのリスト xs から x : xs を作る再帰.

[1,2,3] は糖衣にすぎず, 実体は 1 : (2 : (3 : [])) です. この構造をそのまま data で書くと, 組込リストの正体が見えます. [a] と同型な自作版 List a を書いてみましょう.

-- 組込リストの正体:  data [a] = [] | a : [a]
-- それを自作の名前で書いたもの (Nil ↔ [], Cons ↔ (:))
data List a = Nil | Cons a (List a)
  deriving (Show, Eq)

-- [1,2,3] に対応するのは  Cons 1 (Cons 2 (Cons 3 Nil))

-- 長さ: Nil で 0, Cons で「1 + 残りの長さ」
len :: List a -> Int
len Nil         = 0
len (Cons _ xs) = 1 + len xs

-- 連結: 左が空なら右をそのまま, Cons なら先頭を残して残りを再帰的に連結
append :: List a -> List a -> List a
append Nil         ys = ys
append (Cons x xs) ys = Cons x (append xs ys)

main :: IO ()
main = do
  let xs = Cons 1 (Cons 2 (Cons 3 Nil))
      ys = Cons 4 (Cons 5 Nil)
  print (len xs)        -- 3
  print (append xs ys)  -- Cons 1 (Cons 2 (Cons 3 (Cons 4 (Cons 5 Nil))))

len も append も, 型の再帰構造に沿って 定義されています. 構築子が Nil (基底) と Cons (再帰) の 2 通りなので, 関数もその 2 通りに場合分けし, Cons の枝で「残りのリスト xs」へ再帰します. これが第6章・第7章で繰り返した 構造的再帰 で, データの形と関数の形がそのまま対応します. 第7章の生成作用素の言葉で言えば, Nat の \Phi(X) = \{\texttt{Zero}\} \cup \{\texttt{Succ}\ n \mid n \in X\} に対応して, リストは \Phi(X) = \{\texttt{Nil}\} \cup \{\texttt{Cons}\ x\ xs \mid x \in a,\ xs \in X\} が生成する最小の集合です.

そして, この append こそが組込の (++) にほかなりません (Nil ↔︎ [], Cons ↔︎ (:) と読み替えれば (++) の定義そのものです). つまりリストの連結は「型の再帰構造をたどって末尾までつなぐ」再帰関数として定義され, その (++) と [] が, 次に見るリストのモノイド構造を与えます.

リストはモノイド

リストは, 連結演算 (++) と空リスト [] を単位元として, モノイド になります. 数式で書けば, 連結 xs \mathbin{+\!\!\!+} ys が演算, [] が単位元で, 結合律 (xs \mathbin{+\!\!\!+} ys) \mathbin{+\!\!\!+} zs = xs \mathbin{+\!\!\!+} (ys \mathbin{+\!\!\!+} zs) と単位元律 [] \mathbin{+\!\!\!+} xs = xs \mathbin{+\!\!\!+} [] = xs を満たします. リストでは新しく演算子を定義する必要はなく, 既存の (++) がその役割を果たし, (<>) = (++), mempty = [] となっています.

main :: IO ()
main = do
  print (([1,2] <> [3,4]) :: [Int])          -- [1,2,3,4]    (<> は ++ と同じ)
  print (([] <> [1,2,3]) :: [Int])           -- [1,2,3]      (左単位元)
  print (([1,2,3] <> []) :: [Int])           -- [1,2,3]      (右単位元)
  print (mconcat [[1],[2],[3]] :: [Int])     -- [1,2,3]      (畳み込み)

リストの <> は (++), mempty は [] です. mconcat は concat と同じはたらきをします.

リストは, モノイドの中でも特別な位置を占めます. 要素の型 a を決めると, [a] は a の値から作れる「最も自由な」モノイド になります. これを 自由モノイド (free monoid) といいます. 「自由」とは, 結合律と単位元律以外に余計な等式が成り立たない, という意味です. たとえば [1,2] と [2,1] は (集合ではないので) 別物のままで, 順序や重複が潰れません. 第7章で「リストには順序があり重複も許され, 集合とは別物」と注意したことが, ここでは「自由モノイド = 余計な等式を課さないモノイド」として代数的に説明できます.

こうしてリストには, 3 つの見方が重なりました. 第7章の目には 再帰的な代数的データ型, 第8章の目には (自由) モノイド, そして本章の目には 関手 です. fmap = map は「最初のモデル」の節で見たとおりです. 同じ 1 つの型が, 台の取り方 (値の集まり / 演算を載せた代数 / 射の対応) に応じて別の顔を見せるわけです.

Map

次に, 連想的なデータを扱うとき実務で最もよく使う, 標準ライブラリ containers の Map を見ます. Map k v は キー k から値 v を引ける辞書 (連想配列) を表す多相データ型で, 型引数を 2 つ 取ります (Map :: * -> * -> *). リストと同じ多相型ですが, 自作せずライブラリの型をそのまま使う点が違います (次節では逆に, この種の構造を自分で作って中身を理解します).

import qualified Data.Map as Map
import Data.Map (Map)

-- キー (果物名) から 値 (個数) への対応
stock :: Map String Int
stock = Map.fromList [("apple", 3), ("banana", 2)]

キーで値を引くには Map.lookup を使います. キーが無いこともあるので, 結果は Maybe v で返ります (Maybe は前の節で扱いました).

main :: IO ()
main = do
  print (Map.lookup "apple" stock)   -- Just 3
  print (Map.lookup "grape" stock)   -- Nothing  (キーが無い)

Map はモノイド です. ただし (<>) は 左偏 (left-biased) の和 で, 同じキーがあれば 左の値を優先 し, 値そのものは結合しません. 単位元 mempty は空の Map です.

main :: IO ()
main = do
  let a = Map.fromList [("a", 1), ("b", 2)]
      c = Map.fromList [("a", 9), ("d", 4)]
  print ((a <> c) :: Map String Int)
    -- fromList [("a",1),("b",2),("d",4)]   (キー "a" は左の 1 が残る)

同じキーの値を 結合 したいときは, 第8章「代数のインスタンスにする利点」で予告したとおり, 値が Semigroup であれば Map.unionWith (<>) を使います. 衝突したキーの値を (<>) でまとめられます. 典型例が 単語の出現回数の集計 です.

import Data.Monoid (Sum (..))

-- 2 つの集計を, 同じキーの値を <> (= 加算) でまとめる
merged :: Map String (Sum Int)
merged = Map.unionWith (<>)
           (Map.fromList [("a", Sum 1), ("b", Sum 1)])
           (Map.fromList [("a", Sum 1), ("c", Sum 1)])
  -- fromList [("a",Sum 2),("b",Sum 1),("c",Sum 1)]

-- 単語リストから出現回数を数える
wordCount :: [String] -> Map String (Sum Int)
wordCount ws = Map.fromListWith (<>) [(w, Sum 1) | w <- ws]
  -- wordCount ["a","b","a"] = fromList [("a",Sum 2),("b",Sum 1)]

Map は関手 (Functor) でもあります. Either と同じく型引数が 2 つあるので, キーの側を固定した Map k (種が * -> *) が関手です. したがって fmap が作用するのは 値だけ で, キーは変わりません.

main :: IO ()
main = do
  print (fmap (* 10) stock)
    -- fromList [("apple",30),("banana",20)]

このように Map は, 多相型であり, モノイドであり, 関手でもある, 実務で頻出の型です. リストで見た「3 つの顔」が, ライブラリの型にもそのまま現れています.

ツリー

前節の Map (やその仲間の Set) は, 実は内部的に 平衡二分探索木 (balanced binary search tree) で実装されています. 普段はライブラリの Map / Set を使えば十分ですが, ここでは ① その 内部構造 がどうなっているか, ② 自作のデータ型に Monoid をどう定義するか, ③ 自作のデータ型を Functor にする とはどういうことか, という 3 点を理解するために, 簡単な二分探索木 (binary search tree) を自分で作ってみます.

二分探索木は, 各 節点 (node) が 1 つの値と左右 2 つの部分木を持つ木で, どの節点でも

左部分木のすべての値 < 節点の値 < 右部分木のすべての値

という 不変条件 を保ちます. この順序のおかげで, 中間順 (左 → 節点 → 右) に走査すると値が 昇順 に並びます. 値 \{1, 3, 5, 8, 9\} を持つ二分探索木の例を図に示します (同じ要素集合でも, 挿入順によって木の形は変わりえます. 詳しくは下の注意を参照).

Haskell では, この構造をそのまま 再帰的な代数的データ型 で表せます (第7章で作った再帰型 Nat と同じく型が自分自身を参照しますが, ここではさらに 型引数 a を載せて, 任意の要素型を持つ木に多相化します). 空の木を Leaf (図の破線の四角), 値と左右の部分木を持つ節点を Node (Tree a) a (Tree a) (図の丸) とします. 続いて, 不変条件を保つ挿入 insert', 中間順走査 toList' を定義し, 「要素の集まりを表す木」 としてモノイドを与えます.

data Tree a = Leaf | Node (Tree a) a (Tree a) deriving Show

-- 二分探索木への挿入 (すでにあれば何もしない)
insert' :: Ord a => a -> Tree a -> Tree a
insert' x Leaf = Node Leaf x Leaf
insert' x t@(Node l y r)
  | x < y     = Node (insert' x l) y r
  | x > y     = Node l y (insert' x r)
  | otherwise = t

-- 中間順走査で要素を昇順に取り出す
toList' :: Tree a -> [a]
toList' Leaf         = []
toList' (Node l x r) = toList' l ++ [x] ++ toList' r

fromList' :: Ord a => [a] -> Tree a
fromList' = foldr insert' Leaf

-- 合併演算 ⊔:  t1 ⊔ t2 = 「t1 の全要素を t2 に挿入した木」
(|+|) :: Ord a => Tree a -> Tree a -> Tree a
t1 |+| t2 = foldr insert' t2 (toList' t1)

-- <> は (|+|), 単位元は空の木
instance Ord a => Semigroup (Tree a) where (<>)   = (|+|)
instance Ord a => Monoid    (Tree a) where mempty = Leaf

main :: IO ()
main = do
  let t = fromList' [5,3,8] <> fromList' [3,9,1]
  print (toList' t)   -- [1,3,5,8,9]

ここでは木を「要素の集合の入れ物」とみなし, <> を「一方の全要素をもう一方に挿入する合併」として定義しています. 単位元は空の木 Leaf です. instance Ord a => Semigroup (Tree a) のように, インスタンス宣言にも Ord a => という 制約を付けられる 点に注目してください (挿入のために要素の比較 Ord が必要なため).

ツリーは関手

最後に, Tree a を Functor のインスタンス にしてみます. 自作の多相データ型を関手のモデルに仕立てる, 本部の締めくくりの実例です. fmap は「木の構造はそのままに, 各ノードの値だけを関数で変換する」操作として定義します.

data Tree a = Leaf | Node (Tree a) a (Tree a) deriving Show

-- 木の形は保ったまま, 各ノードの値に関数を適用する
instance Functor Tree where
  fmap _ Leaf         = Leaf
  fmap f (Node l x r) = Node (fmap f l) (f x) (fmap f r)

-- 中間順走査で値を取り出す (確認用)
toList' :: Tree a -> [a]
toList' Leaf         = []
toList' (Node l x r) = toList' l ++ [x] ++ toList' r

sample :: Tree Int
sample = Node (Node Leaf 1 Leaf) 2 (Node Leaf 3 Leaf)

main :: IO ()
main = do
  print (toList' sample)             -- [1,2,3]
  print (toList' (fmap (* 10) sample))  -- [10,20,30]

fmap (*10) sample は, 木の枝分かれの形 (どこが Node でどこが Leaf か) を一切変えずに, 各ノードの値だけを 10 倍します. ここで定義の fmap _ Leaf = Leaf が「Leaf の構造を保つ」, Node (fmap f l) (f x) (fmap f r) が「Node の構造を保ちつつ値だけ変換し, 部分木にも再帰的に fmap する」ことを表しています. リストや木のように, 要素を一様に持つデータ構造はたいてい関手になる わけです.

自然変換

型に依らない一様な変換

これも需要側から入ります. Maybe a の値をリストへ変換する maybeToList は, 中身の a が何型でも同じやり方で動いてほしい関数です. 中身には触れず「容器の形だけ」を替える変換を, 型ごとに書き分けずに一度で定義し, その一様さを型で保証したい. この需要に応えるのが自然変換です.

関手が「圏どうしの変換」だとすれば, 自然変換 (natural transformation) は「関手どうしの変換」です. 2 つの関手 f と g があるとき, 型 a に依らず一様に f a を g a に変換する操作が自然変換です. Haskell では, 次のような 多相関数 がこれにあたります.

\alpha : \forall a.\ f\,a \to g\,a

ズームアウトの図では, 関手のとき (図2→図3) からさらに一歩引いた, 冒頭の階段の最終段にあたります. 図3 の射 (関手) が今度は点に潰れ, 関手と関手を結ぶ 二重の射 が現れます. これが自然変換です (図4).

ここで先頭の \forall a (第7章で導入した 全称命題 の量化子) が効いています. 「すべての 型 a について f a -> g a が成り立つ」, つまり a がどんな型でも同じ仕組みで変換できる関数だけが自然変換になります. 「a を覗き見て型ごとに振る舞いを変える」ことはできず, 中身の値には触れず, 関手の構造 (外側の形) だけを組み替えるのが特徴です. この「型に依らない一様さ」は パラメトリック多相 (parametric polymorphism) と呼ばれ, 本章冒頭で挙げた「多相型 = 自然変換」という対応の正体です.

代表例が, リストと Maybe を相互に変換する 2 つの関数です (どちらも Data.Maybe にあります).

-- リストを Maybe へ: 先頭があれば Just, 空なら Nothing
listToMaybe :: [a] -> Maybe a
listToMaybe []      = Nothing
listToMaybe (x : _) = Just x

-- Maybe をリストへ: Just x は [x], Nothing は []
maybeToList :: Maybe a -> [a]
maybeToList Nothing  = []
maybeToList (Just x) = [x]

main :: IO ()
main = do
  print (listToMaybe [1, 2, 3 :: Int])  -- Just 1
  print (listToMaybe ([] :: [Int]))     -- Nothing
  print (maybeToList (Just 5 :: Maybe Int))  -- [5]
  print (maybeToList (Nothing :: Maybe Int)) -- []

listToMaybe :: forall a. [a] -> Maybe a は, 関手 [] から関手 Maybe への自然変換です. 型 a が Int でも String でも何でも, 「先頭要素があれば Just, 無ければ Nothing」という同じ規則で変換します. maybeToList はその逆向き (Maybe から [] へ) の自然変換です. どちらも中身の値 a を加工せず, 関手の構造だけを移し替えています. Exercise CH9-4 の toEither reason :: Maybe a -> Either e a も同じ仲間 (Maybe から Either e への自然変換) でした.

自然変換が満たすべき条件を 自然性条件 (naturality) といいます. 「先に中身を変換してから構造を移す」のと「先に構造を移してから中身を変換する」のとで結果が一致する, という条件です. 自然変換 \alpha と任意の関数 g :: a -> b について,

\mathrm{fmap}\ g \circ \alpha = \alpha \circ \mathrm{fmap}\ g

が成り立ちます. 左辺は「\alpha で構造を移してから fmap g で中身を変換」, 右辺は「fmap g で中身を変換してから \alpha で構造を移す」です.

たとえば listToMaybe なら, [10,20,30] に対して

• 先に fmap (+1) してから listToMaybe: [11,21,31] → Just 11
• 先に listToMaybe してから fmap (+1): Just 10 → Just 11

と, どちらの順でも Just 11 で一致します. 全域的でパラメトリックな実装に限れば, 関数は中身の値を型ごとに調べられないため, この自然性は型から導かれます. ただし実際の Haskell では, seq・undefined・unsafeCoerce などがこの前提を破り得ます. 本章では, 先の Hask の節と同じく, それらを除いた理想化のもとで「型から自然性が従う」と読みます.

-- 実行例
main :: IO ()
main = do
  print (firstTwo [1, 2, 3 :: Int])  -- Just (1,2)
  print (firstTwo [1 :: Int])        -- Nothing
  print (firstTwo ([] :: [Int]))     -- Nothing
  print (firstTwo "abc")             -- Just ('a','b')

firstTwo :: [a] -> Maybe (a, a)
firstTwo (x : y : _) = Just (x, y)
firstTwo _           = Nothing

main :: IO ()
main = do
  print (firstTwo [1, 2, 3 :: Int])  -- Just (1,2)
  print (firstTwo [1 :: Int])        -- Nothing
  print (firstTwo ([] :: [Int]))     -- Nothing
  print (firstTwo "abc")             -- Just ('a','b')

関手圏

maybeToList のような一様変換は, 部品として合成したくなります (変換した結果をさらに別の一様変換へ渡す). 変換どうしの合成が圏の公理を満たすなら, 変換の等式変形 (第10章のモナド則がその実例です) を圏の言葉で安全に行えます.

図4 に 関手圏 (functor category) と名前を付けたからには, Cat のときと同じ宿題が残っています. この世界も本当に圏なのか. 成分は同じ手順で揃います.

自然変換は合成できます. \alpha : F \Rightarrow G と \beta : G \Rightarrow H があれば, 続けて適用する \beta \circ \alpha : F \Rightarrow H も自然変換です. Haskell では多相関数どうしの, ただの関数合成です. 実物も手元にあります. listToMaybe ([] ⇒ Maybe) と maybeToList (Maybe ⇒ []) を継ぐと, 「先頭 1 要素だけ残す」という [] から [] への自然変換になります.

ghci> (maybeToList . listToMaybe) [10, 20, 30]
[10]
ghci> (maybeToList . listToMaybe) ([] :: [Int])
[]

自然性も引き継がれます. 前節の可換四角形を 2 つ横に継げば, 外周がまた可換な四角形になります. Haskell 側でも, 全域性とパラメトリシティの前提を満たす関数どうしなら, 合成後も同じ前提を満たすため自然性が成り立ちます.

恒等自然変換 (identity natural transformation). どの型でも何もしない多相関数 \mathrm{id}_F : \forall a.\ f\,a \to f\,a (Haskell の id をこの型で読んだもの) は, 関手 F から F 自身への自然変換で, 上の合成の単位になります.

照合しましょう. \mathrm{Ob} = \{F, G, \dots\} (関手たち), \mathrm{Mor} = \{\alpha,\ \beta,\ \beta \circ \alpha,\ \mathrm{id}_F, \dots\} (自然変換たち), 合成 = 関数合成, 恒等射 = 恒等自然変換. 結合律と恒等律は関数のそれをそのまま受け継ぎます. つまり 図4 の世界も圏 (対象が関手, 射が自然変換の 関手圏) であり, 冒頭の階段の最終段「関手圏: 台 = 自然変換, 単位 = 恒等自然変換」も, これで回収されました.

そして, 「圏の圏 Cat」の節とこの節で作った部品が, そのまま 第10章の素材になります. モナドの単位 \eta : \mathrm{Id} \Rightarrow T は「恒等関手 からの自然変換」, 乗法 \mu : T \circ T \Rightarrow T は「関手の合成 からの自然変換」です. どちらも, 本章で定義した言葉だけで読める型をしています.

まとめ

これで, 本章冒頭で掲げた対応が一通り埋まりました. 型を 対象, 関数を 射 とみる圏 Hask の上で, 型引数を持つ多相データ型は 関手 (fmap を備える), 型に依らない一様な多相関数は 自然変換 (\forall a で量化された f a -> g a) に対応します. 本章の道のりを, 前 2 章から続く 1 本の物語として振り返ります.

そして, 冒頭に地図として掲げた 俯瞰の階段 の各段を, すべて実物 (定義とコード) で確かめ終えました.

図の系列で言えば, 図0 (集合だけ) → 図1 (点 = 台, 射 = 演算, 第7章・第8章) → 図2 (点 = 型, 射 = 関数, 導入) → 図3 (点 = 圏, 射 = 関手, 関手の節) → 図4 (点 = 関手, 射 = 自然変換, 前節) と, 射に何を据えるか を一段ずつ持ち上げてきました.

どの段でも, やっていることは同じでした. 組 (台 + 演算) を選び, 法則 (結合律と単位律) を課す. 変わるのは台に何を据えるかだけです. 第10章では, この階段の最上段で モノイドのレシピをもう一度回します. 台に自己関手を据え, 演算に関手の合成を, 単位に恒等関手からの自然変換を選ぶ. そうして得られる構造が モナド (monad) です. 本章で手にした関手・関手の合成・恒等関手・自然変換が, そのまま素材になります.